Tính liên tục của hàm số toán cao cấp

     

Trong bài học trước những em đã biết về số lượng giới hạn của hàm số, nỗ lực nào là số lượng giới hạn hữu hạn, số lượng giới hạn một mặt và giới hạn ở vô cực. Tiếp theo bọn họ sẽ mày mò về hàm số tiếp tục trong nội dung bài học này.

Bạn đang xem: Tính liên tục của hàm số toán cao cấp


Bài viết bên dưới đây sẽ giúp ta biết phương pháp xét tính liên tục của hàm số, áp dụng giải các dạng bài tập về hàm số thường xuyên như: Xét tính liên tiếp của hàm số ở 1 điểm (x=0), bên trên một đoạn hay là một khoảng, tìm những điểm đứt quãng của hàm số, hay chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm.

I. định hướng về hàm số liên tục (tóm tắt)

1. Hàm số liên tiếp tại 1 điểm

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác minh trên khoảng chừng (a;b) cùng x0 ∈ (a;b). Hàm số y = f(x) được gọi là tiếp tục tại x0 nếu:

 

*

- Hàm số f(x0) không liên tục tại điểm x0 thì x0 được gọi là điểm ngăn cách của hàm số f(x).

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

- Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được call là liên tục trên một khoảng chừng nếu nó liên tục tại hồ hết điểm của khoảng tầm đó.

- Hàm số y = f(x) được gọi là liên tiếp trên đoan nếu như nó thường xuyên trên khoảng tầm (a;b) và:

 

*

3. Một số trong những định lý cơ phiên bản về hàm số liên tục

Định lý 1:

a) Hàm số đa thức tiếp tục trên cục bộ tập số thực R.

b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của 2 nhiều thức) và những hàm số lượng giác tiếp tục trên từng khoảng chừng của tập xác định của chúng.

Định lý 2:

- đưa sử f(x) và g(x) là hai hàm số tiếp tục tại điểm x0. Lúc đó:

a) những hàm số f(x) + g(x); f(x) - g(x) cùng f(x).g(x) tiếp tục tại x0.

b) hàm số 

*
 liên tục trên x0 nếu như g(x0) ≠ 0.

• Định lý 3:

- nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn với f(a)f(b) II. Những dạng bài bác tập về hàm số liên tục

° Dạng 1: Xét tính thường xuyên của hàm số tại điểm x0.

* Phương pháp:

- bước 1: Tính f(x0)

- bước 2: Tính  hoặc

- cách 3: So sánh:  hoặc  với 

*
 rồi rút ra kết luận

- Nếu 

*
 hoặc 
*
 thì tóm lại hàm số tiếp tục tại 

- Nếu  không lâu dài hoặc  thì tóm lại hàm số không liên tục tại x0.

- bước 4: Kết luận.

* lấy một ví dụ 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11): Dùng khái niệm xét tính thường xuyên của hàm số f(x)=x3 + 2x - 1 trên x0=3.

° lời giải ví dụ 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11):

- Ta có: f(x) = x3 + 2x - 1

⇒ f(3) = 33 + 2.3 - 1 = 32

*
 
*

*

⇒ f(x) liên tiếp tại x0 = 3.

* Ví dụ 2 (Bài 2 trang 140 SGK Đại số 11): a) Xét tính thường xuyên của hàm số y = g(x) trên x0 = 2, biết:

 

*

b) vào biểu thức g(x) sinh sống trên, cần thay số 5 vì chưng số làm sao đó nhằm hàm số tiếp tục tại x0 = 2.

Xem thêm: 5 Cách Trị Thâm Bằng Rau Diếp Cá, Trị Thâm Mụn Bằng Rau Diếp Cá

° giải mã ví dụ 2 (Bài 2 trang 140 SGK Đại số 11):

- Ta có: g(2) = 5.

 

*
 
*

 

*

*

⇒ g(x) không liên tiếp tại x0 = 2.

b) Để g(x) tiếp tục tại x0 = 2 thì:

 

*

- Vậy chỉ cần thay 5 bởi 12 thì hàm số tiếp tục tại x0 = 2.

* lấy ví dụ như 3: Xét tính tiếp tục của hàm số sau tại điểm x = 1.

 

*

° giải thuật ví dụ 3:

- Ta có: f(1) = 1

 

*
 
*
 

 

*

*

⇒ Vậy hàm số f(x) không liên tiếp (gián đoạn) trên điểm x = 1.

* ví dụ 4: Xét tính liên tiếp của hàm số sau tại điểm x = 0.

 

*

° lời giải ví dụ 4:

- Ta có: f(0) = 02 - 2.0 + 2 = 2.

 

*
 
*

 

*

*

⇒ Vậy hàm số f(x) liên tiếp tại điểm x = 0.

° Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số bên trên một khoảng, một đoạn.

* Phương pháp:

- Áp dụng định lý 1, định lý 2 nhằm xét tính tiếp tục của hàm số trên từng khoảng xác định của nó.

- ví như hàm số khẳng định bởi 2 hoặc 3 công thức, ta thường xét tính tiếp tục tại những điểm đặc biệt quan trọng của hàm số đó.

* ví dụ như 1: Cho hàm số 

*

 

*
 
*

 

*

*

⇒ Hàm số f(x) thường xuyên tại điểm x = 2.

Xem thêm: Top 15 Cách Thể Hiện Tình Yêu Với Chàng Ngọt Ngào, Lãng Mạn, Cách Để Thể Hiện Tình Ý Với Một Chàng Trai

- Kết luận: Hàm số f(x) liên tục trên khoảng tầm (-7;+∞).

* lấy một ví dụ 2: Tìm a, b nhằm hàm số sau liên tục: 

*

 

*

⇒ Để hàm số tiếp tục tại điểm x = 3 thì:

 

*
 
*
 (*)

• Khi x = 5 thì f(5) = 5a + b

 

*

 

*

⇒ Để hàm số thường xuyên tại điểm x = 5 thì:

*
 
*
 (**)

Từ (*) và (**) ta có: 

*

- Vậy khi a = 1 và b = -2 thì hàm số f(x) thường xuyên trên R, khi đó:

 

*

- Hàm số g(x) liên tục trên các khoảng: 

*

° Dạng 3: Tìm điểm cách trở của hàm số f(x)

* Phương pháp: x0 là điểm ngăn cách của hàm số f(x) trường hợp tại điểm x0 hàm số ko liên tục. Thường thì x0 vừa lòng một trong các trường hợp sau: