Đường trung tuyến của tam giác

     

Công thức tính độ nhiều năm trung tuyến trong tam giác & những dạng bài tập

Sau đây trung học phổ thông Sóc Trăng sẽ chia sẻ đến chúng ta công thức tính độ dài trung con đường trong tam giác cực hay và các dạng toán yêu đương gặp. Hãy share để nắm chắc chắn thêm phần kiến thức và kỹ năng Hình học tập 12 vô cùng đặc biệt quan trọng này chúng ta nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN vào TAM GIÁC 


1. Đường trung con đường là gì? Đường trung con đường trong tam giác là gì?

Bạn đang xem: công thức tính độ dài trung đường trong tam giác & các dạng bài bác tập

Đường trung tuyến của 1 đoạn thẳng là 1 trong những đường thẳng đi qua trung điểm của con đường thẳng đó


Đường trung tuyến trong tam giác là một trong những đoạn thẳng nối tự đỉnh của tam giác tới các cạnh đối diện nó. Từng tam giác có 3 con đường trung tuyến.

Bạn đang xem: đường trung tuyến của tam giác

2. đặc điểm của đường trung đường trong tam giác

Trong tam giác thường, vuông, cân đều phải có tính hóa học của mặt đường trung tuyến khác nhau.

Đường trung tuyến đường trong tam giác thường gồm 3 tính chất như sau:

3 đường trung đường trong tam giác cùng đi sang một điểm, điểm đó cách đỉnh tam giác một khoảng tầm bằng độ dài của con đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.Giao điểm của 3 con đường trung tuyến được điện thoại tư vấn là trọng tâmVị trí giữa trung tâm trong tam giác: trung tâm của 1 tam giác biện pháp mỗi đỉnh 1 khoảng chừng bằng độ dài mặt đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.

Tính hóa học đường trung tuyến đường của tam giác vuông:

 Tam giác vuông là một trong trường hợp quan trọng của tam giác, trong đó, tam giác sẽ có được một góc gồm độ lớn là 90 độ, với hai cạnh tạo cho góc này vuông góc cùng với nhau.

– vì chưng đó, đường trung đường của tam giác vuông đã có không thiếu những đặc điểm của một đường trung đường tam giác.

Định lý 1: Trong một tam giác vuông, con đường trung con đường ứng với cạnh huyền bởi nửa cạnh huyền.

Định lý 2: Một tam giác gồm trung con đường ứng với cùng một cạnh bởi nửa cạnh kia thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Tính hóa học đường trung con đường của tam giác đều, tam giác cân

Đường trung con đường ứng cùng với cạnh lòng thì vuông góc cùng với cạnh đấy, và phân tách tam giác thành 2 tam giác bởi nhau

II. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN trong TAM GIÁC

Công thức:

Công thức tính độ dài đường trung tuyến của cạnh bất kỳ bằng căn bậc 2 của 1 phần hai tổng bình phương hai cạnh kề trừ một phần tư bình phương cạnh đối.


*

Trong đó: a, b ,c thứu tự là các cạnh trong tam giác

ma, mb, mc lần lượt là gần như đường trung tuyến trong tam giác

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC, có BC = a, CA = b cùng AB = c. Chứng minh rằng nếu b2 + c2 = 5a2 thì hai trung con đường kẻ từ B và C của tam giác vuông góc với nhau.

Xem thêm: Muốn Quyến Rũ Hơn Khi Mặc Bikini Có Cần Triệt Lông Hiệu Quả Nhất

Lời giải:

*
công thức tính độ dài mặt đường trung tuyến (ảnh 6)" />

Gọi D cùng E thứu tự là trung điểm của AB cùng AC, G là trung tâm tam giác ABC.

Đặt BE = mb, CD = mc

Áp dụng cách làm trung con đường trong tam giác ABC ta có:

*
công thức tính độ dài con đường trung con đường (ảnh 7)" />

Vậy b2 + c2 = 5a2 thì nhị trung đường kẻ từ bỏ B cùng C của tam giác vuông góc cùng với nhau. (đpcm)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC gồm BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài các đường trung con đường của tam giác ABC.

Lời giải:

Gọi độ lâu năm trung con đường từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC thứu tự là ma; mb; mc.

Áp dụng cách làm trung tuyến ta có:

*
bí quyết tính độ dài mặt đường trung con đường (ảnh 4)" />

Vì độ dài các đường trung con đường (là độ nhiều năm đoạn thẳng) cần nó luôn dương, vì đó:

*
cách làm tính độ dài mặt đường trung đường (ảnh 5)" />

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Cho tam giác ABC cân nặng tại A, hai tuyến phố trung tuyến đường BD cùng CE giảm nhau trên G. Kéo dãn dài AG giảm BC tại H.

a. đối chiếu tam giác AHB cùng tam giác AHC.

b. Gọi I cùng K thứu tự là trung điểm của GA với GC. Chứng tỏ rằng AK, BD, CI đồng quy.

Lời giải:

*
cách làm tính độ dài mặt đường trung đường (ảnh 11)" />

a. Ta tất cả BD là con đường trung tuyến đường của tam giác ABC

CE là con đường trung tuyến của tam giác ABC

Vậy G là trọng tâm tam giác ABC

Mà AH đi qua G đề xuất AH là mặt đường trung tuyến của tam giác ABC

HB = HC

Xét hai tam giác AHB cùng tam giác AHC có:

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

AH chung

HB = HC

⇒ ΔAHB = ΔAHC (c – c – c)

b. Ta gồm IA = IG yêu cầu CI là con đường trung tuyến của tam giác AGC (1)

Ta lại sở hữu KG = KC yêu cầu AK là mặt đường trung con đường của tam giác AGC (2)

DG là con đường trung tuyến của tam giác AGC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra 3 con đường trung tuyến đường CI, AK, DG đồng quy trên I

Bài 2: Cho tam giác ABC có BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài những đường trung tuyến đường của tam giác ABC.

Xem thêm: Giải Mã Bí Mật Cung Ma Kết Nam, Cung Ma Kết

Lời giải:

Gọi độ dài trung tuyến từ những đỉnh A, B, C của tam giác ABC theo lần lượt là ma; mb; mc.

Áp dụng phương pháp trung đường ta có:

*

Vì độ dài những đường trung con đường (là độ lâu năm đoạn thẳng) đề xuất nó luôn luôn dương, vì chưng đó:

*

Bài 3: Cho tam giác MNP cân tại M, biết MN = MP = 8cm, NP = 7cm. Kẻ đường tuyến MI. Minh chứng MI ﬩ NP

Lời giải:

Ta bao gồm MI là mặt đường trung con đường của ∆MNP đề xuất IN = IP

Mặt không giống ∆MNP là tam giác cân tại M

=> ngươi vừa là mặt đường trung đường vừa là mặt đường cao

=> ngươi ﬩ NP

Bài 4: Cho tam giác ABC gồm AB = AC, gọi K là giao điểm của hai tuyến phố trung tuyến BM cùng CN. Minh chứng rằng:

a. Tam giác BNC và tam giác CMB bởi nhau

b. KB = KC

c. BC

*
phương pháp tính độ dài mặt đường trung đường (ảnh 12)" />

a. Ta có: AB = AC (gt)

*
công thức tính độ dài con đường trung tuyến (ảnh 13)" />

⇒ BN = CM

Xét ΔBCN và ΔCBM có:

BC là cạnh chung

BN = CM

*
bí quyết tính độ dài đường trung đường (ảnh 14)" />

Nên tam giác KBC cân tại A

Suy ra KB = KC

c. Xét ΔABC có:

NA = NB (CN là con đường trung tuyến)

MA = MC (MB là đường trung tuyến)

Suy ra NM là mặt đường trung bình của tam giác ABC

*
cách làm tính độ dài mặt đường trung tuyến đường (ảnh 15)" />

Xét tam giác NKM có:

NM 2 = AB2 + AC2 ⇒ BC2 = 182 + 242 = 900 ⇒ BC = 30cm

Ta tất cả ABC vuông cơ mà D là trung điểm cạnh huyền buộc phải AD = BD = DC = 15cm

Suy ra: AG = 2/3 AD = 10cm

Xét tam giác AEC vuông trên A, áp dụng định lý Pitago ta có:

EC2 = AE2 + AC2 ⇒ EC2 = 92 + 242 = 657 ⇒ EC = 3√73 centimet ⇒ CG = 2/3 EC = 2√73 cm

Tương trường đoản cú ta xét tam giác AFB vuông trên A, áp dụng định lý Pitago ta có:

BF2 = AB2 + AF2 ⇒BF2 = 182 + 122 = 468 ⇒ BF = 6√13 cm ⇒ BG = 2/3 BF = 4√13 cm

Tổng các khoảng cách từ giữa trung tâm G của tam giác đến những đỉnh của tam giác là:

AG + BG + CG = 10 + 4√13 + 2√73 (cm)

Bài 7: Gọi S = ma2 + mb2 + mc2 là tổng bình phương độ dài tía đường trung tuyến đường của tam giác ABC. Xác minh nào sau đấy là đúng? (cho BC = a, CA = b, AB = c)

*

Lời giải:

Áp dụng bí quyết trung con đường trong tam giác ABC ta có:

*

Đáp án A

Bài 8: Cho tam giác ABC gồm AB = 3, BC = 5 và độ dài mặt đường trung tuyến 

*
. Độ dài AC là:

*

Hướng dẫn giải:

*

BM là trung tuyến đường của tam giác ABC, áp dụng công thức trung con đường ta có:

*

Đáp án B